如何理解发散数列定义
收敛与发散怎么判断？
收敛与发散怎么判断？
判断函数和序列是收敛还是发散。
1.让序列{Xn}存在。如果有一个常数a，那么对于任意给定的正数q(不管多小)总有一个正整数n，这样当ngtN时，总有|Xn-a|ltq，这就意味着序列{Xn}收敛于a(极限为a)，也就是说序列{Xn}收敛。
2.求数列的极限。如果数列的项数n趋于无穷大，数列的极限总能逼近实数A，则数列收敛；如果找不到实数A，则级数发散。看n趋于无穷大时Xn是否趋于一个常数，但有时Xn比较复杂，不容易观察到。这是最常用的准则，它是单调的、有界的、收敛的。
3.加减时直接舍弃高阶无穷小，比如1 ^ 1/n，乘除时用1代替原来复杂的无穷小，用更简单的等价无穷小代替，比如1/n*sin(1/n)和1/n ^ 2。
4.收敛序列的极限是唯一的，序列必须有界且保号，这与子序列的关系是一致的。不满足上述任何一个条件的级数都是发散级数。此外，还有D 阿朗伯收敛准则，柯西收敛准则，根式收敛法等等。
正项级数发散加发散等于发散。发散减发散等于发散吗？
不存在。这里只讨论正项级数，对于任意级数没有比较收敛的方法。
(杜波依斯·雷蒙定理)对于任何给定的收敛正项级数，必有一个收敛正项级数，这样，反过来，(阿贝尔定理)对于任何发散正项级数，必有一个发散正项级数，这样，
证明:
考虑收敛正项级数的余项，很容易知道单调归约趋于0，从而很容易验证是否满足，从而找到所需要的。
同时，对于发散级数，可以找到。这个时候不言而喻。考虑柯西收敛准则的发散性证明:
因为发散，所以很容易找到一个p对于任何n，所以它是发散的。
这说明无论是判断收敛还是发散，都没有级数可以作为 "最快收敛/最慢发散 "。
PS，原问题是关于系列的，我不 我认为判断数列收敛不需要比值判别法。于是我修改了题目。
如果题主想问的是用比值法判断另一个数列的极限是否存在，那么这样的题目描述是不合适的。对于比值极限，展开定义为，取适当的公式(如)展开，并在保证下，有，使双方和。
这样才能得到收敛和收敛的关系。至于用它来判断数列极限是否存在？这显然是不合理的。