拉普拉斯变换的意义
拉普拉斯变换的优点？
拉普拉斯变换的物理意义是什么？
有一些情形下一个实自变量函数公式在实数域内进行一些计算并非易事，但若将实自变量函数公式作拉普拉斯变换，并且在复数域中作各种各样计算，然后将计算结论作拉普拉斯反转换来求取实数域里的相对应结论，
在经典控制理论中，对自动控制系统的分析和综合，全是是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可以选用传递函数替代常系数线性微分方程来描述系统的特性。这也为选用形象化和简单的详解方式来决定自动控制系统整个的特点、剖析自动控制系统的运动过程，及其给予自动控制系统调节的概率。
运用拉普拉斯变换解常自变量齐次微分方程，能将线性微分方程化作代数方程，使难题得到化解。在水利学上，拉普拉斯变换的深远影响就在于：将一个信号从频域上，转换为复频域（s域）上去表明；在线性系统，操纵自动化技术上也有广泛应用。
拉普拉斯变换的物理意义是什么？
从正则系综配分函数转换到微正则系综态密度换句话说谱密度的情况下，所使用的是拉普拉斯逆变换；相反是拉普拉斯变换。在其中核的指数值里的单数也很好理解，它经常会出现于统计力学里的Lee-Yang理论（由李政道和杨振宁于1952年根据几篇毕业论文创建）：即复化以后的温度，化学势或是外磁场。
她们通过这种复化的办法推论出些了在热学极限值下，系统发生一级或是持续相变的前提条件（全文是对自旋全面的）：如同复分析里的branch cut一样，Lee-Yang零点在复平面上汇聚成一条线，仅有取实标值的标量在相变是越过这条线，才会出现一级相变。这种零点回答了为什么一个明明就是解析函数的配分函数在相变时却能造成散发的参量，也提出了一个no-go theorem： 不取热学极限值就不会产生相变；迄今这一套基础理论或是科学研究传统式非拓扑结构相变的利器。有人会说复的物理量仅仅数学技巧而已，但近期有研究说明我们都是能观察到Lee-Yang零点的， 方向跑偏一点，这一套基础理论还衍生出Lee-Yang edge，即高过相变温度时，上述的Lee-Yang零点聚集线停止于2个零界点，而用以叙述该零界点周边复参量的理论是一个central charge为-22/5的2维共形场论，叫非幺正minimal model.
因而拉普拉斯变换在研究3维纯量子引力（没有费米化学物质）尤其是超级黑洞熵及其超级黑洞Hawking-Page相变时，经常出现在半经典类似中，因为如果假定AdS/CFT创立，复化的热学量既归属于2维渐近界限里的吸引力初始条件，都是界限2维共形场论的主要参数。可以参考以下Witten和尹希的文章（Maloney-Witten里（5.7）式周边把拉普拉斯逆变换写出拉普拉斯变换了）。
PS： Lee-Yang的全文里只考虑到了复化的外磁场和化学势，叫做field-driven transition；复温度是1965年Michael E. Fisher引入的，叫temperature-driven transition，是一个nontrivial的营销推广，切记不能和比较有限温度场论里的虚时长搞混。
数学上，实际上把拉普拉斯变换当做Borel转换推广比看成是傅立叶变换推广更适合，由于后者的指数值上都没有虚数单位，治疗非收敛级数，这和拉普拉斯变换替代傅立叶变换解决非收敛性数据信号有异曲同工之妙。在物理中的主要用途嘛，近期在非微扰量子场论和旋论的resurgent analysis里火得不行呀