和差化积公式推导 和差化积公式怎么来的？

和差化积公式推导

和差化积公式怎么来的？

和差化积公式怎么来的？

和差化积公式：包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式，和差化积公式共10组。在应用和差化积时，必须是一次同名（正切和余切除外）三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次。

和差化积公式怎么来的？

差化积公式推导过程

首先，我们知道sin(a b)=sina*cosb cosa*sinb，

sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb，

我们把两式相加就得到sin(a b) sin(a-b)=2sina*cosb，

所以，sina*cosb=(sin(a b) sin(a-b))/2

同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=(sin(a b)-sin(a-b))/2

同样的，我们还知道cos(a b)=cosa*cosb-sina*sinb，

cos(a-b)=cosa*cosb sina*sinb，

所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a b) cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到，cosa*cosb=(cos(a b) cos(a-b))/2

同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a b)-cos(a-b))/2

这样，我们就得到了积化和差的四个公式：sina*cosb=(sin(a b) sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a b) cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a b)-cos(a-b))/2

有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式。

三角函数的和差化积？

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α β) sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α β) cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α β)-cos(α-β)]

积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。

解释：

（1）积化和差最后的结果是和或者差；

（2）若两项相乘，后者为cos项，则积化和差的结果为两项相加；若不是，则结果为两项相减；

（3）若两项相乘，一项为sin，另一项为cos，则积化和差的结果中都是sin项；

（4）若两项相乘，两项均为sin，则积化和差的结果前面取负号。