排列组合公式算法详解
-###5选3排列组合公式及算法？
5选3排列组合公式及算法？
1、有10种组合，其公式为C5-3=(5*4*3)/(1*2*3)=C5-2=(5*4)/(1*2)=10。
2、C(n-m)=An-m/Am-m：
定义：从n个不同元素中取出m(mlt=n)不同元素的不同组合个数。
组合个数的计算方法，是先算出排列数量，再把所有排列中组成元素重复的那些排列进行同一性分类。或者也可以这样理解：若存在k个排列，其组成元素都相同，仅是排序不同，那么这k个排列都属于同一个组合，从组合的角度看，k个排列只是1种组合，计数时就要去除重复的部分，此时排列数k是组合数1的k倍，组合数＝k÷k＝1。
为方便分析，题主的5中选3，不妨看作是给定5个互不相同的数字，计算从中取出3个的组合个数。先研究排列的情形，我们可进一步把问题具体化为：给定5个互不相同的非零数字，从中取出3个进行有序排列组成一个三位数，求三位数的个数。
第一步，从5个数字中取出1个放在百位，有5种取法，不管取出哪个，取完之后还剩4个数字。
第二步，从上一步剩余的4个数字中取出1个放在十位，有4种取法，不管取出哪个，取完之后还剩3个数字。
第三步，从上一步剩余的3个数字中取出1个放在个位，有3种取法。
从5个互不相同的非零数字中取出3个排列组成一个三位数，经过以上三步就全部完成了。根据分步乘法计数原理，我们知道这样的三位数有：5×4×3＝60种。
计算组合数之前，可以通过实例直观感受为什么排列数和组合数不同。比如给定1、2两个数字，有序的排列数有2种：12、21，但是不考虑排序的组合数只有1种，就是1、2组合。
得出排列数量后，我们进一步分析计算出组合数。对上述5中取3的例子，我们已知三位数有60个，也即是排列的取法有60种。在这60种排列中，对于排序不同但组成的数字相同的情形，都只能看作同一种组合，比如123和321，排序不同但组成的数字都是1、2、3，那就只能对应到数字1、2、3的组合。
从5个数字中任意取出3个，根据分步乘法计数原理，这3个数字的排列数有：3×2×1＝6种。而这6种排列数只对应已经取出的3个数（1 2 3）这确定的一种组合，也就是说我们得到的60种排列数可以分为6个一组，每一组中的6个数，虽然排序不同，但都对应已经确定的某一种数字组合，因此5中选3的的组合数为：60÷6＝10种，实际上应该写成：(5×4×3)÷(3×2×1)＝10种。
下面把上述例题具体化，根据以上分析求解，借助实例理解分析的过程。
给定1、2、3、4、5五个数字，从中取出3个数字组成一个三位数，不能重复取数，问能组成多少个三位数？若只取出3个数字构成一个组合，不考虑排列顺序，问有多少种组合？
这是要求先计算排列数。可用列举法印证分步乘法计数原理。百位取1时，十位可以有2、3、4、5四种取法，不妨让十位先取2，那么此时个位就有3、4、5三种取法，对应的三位数是：123、124、125，也就是1×1×3＝3个。依此类推，百位取1，十位分别取3、4、5时，也分别有3个不同的三位数，那么百位取1时能组成的三位数就有：1×4×3＝12个。同理，易知百位分别取2、3、4、5时，也分别能组成12个不同的三位数，所以满足要求的三位数个数是：5×4×3＝60个。
实际上我们可以把这60个三位数按上面分析的顺序全部写出来：
123、124、125、132、134、135
142、143、145、152、153、154
213、214、215、231、234、235
241、243、245、251、253、254
312、314、315、321、324、325
341、342、345、351、352、354
412、413、415、421、423、425
431、432、435、451、452、453
512、513、514、521、523、524
531、532、534、541、542、543
现在我们来算5中选3的组合个数。选取上面60个数中的第一个数123，我们能找到与它的组成相同的另外五个数：132、213、231、312、321，不考虑排序，这6个不同的三位数都属于三数组合（1 2 3）。事实上我们如果用1、2、3三个数字进行全排序，显然就对应这6个三位数，计算组合数时都只能看作同一种组合，要去除重复部分，对于其他的三位数也是如此。上面60个三位数，我们可以用以下形式重新分组：
1 2 3：123、132、213、231、312、321
1 2 4：124、142、214、241、412、421
1 2 5：125、152、215、251、512、521
1 3 4：134、143、314、341、413、431
1 3 5：135、153、315、351、513、531
1 4 5：145、154、415、451、514、541
2 3 4：234、243、324、342、423、432
2 3 5：235、253、325、352、523、532
2 4 5：245、254、425、452、524、542
3 4 5：345、354、435、453、534、543
总共10种组合，每一种组合都对应6个排列。因此：5中选3的组合个数＝5中选3的排列个数÷3的全排列个数(除法的目的是消去重复计数的部分)＝(5×4×3)÷(3×2×1)＝10种。
推广到一般性，从n个不同元素中，任意取m(m≤n)个元素构成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号c(n,m) 表示。根据前述分析易知，组合数的计算公式为：
c(n,m)＝(从n个不同元素中取出m个元素进行排列的排列个数)÷(m个元素的全排列个数)＝n(n-1)(n-2)...(n-m 1)÷(1×2×...×m)