复数i的几何意义
怎样理解复数的几何意义？
怎样理解复数的几何意义？
从自然数到整数金额，从整数金额到有理数，再从无理数，到实数全是数域的拓展。
数域的拓展就是为了营销推广大家对数的运算。例如加减法需要大家引入负值，而开根需要大家引入无理数。
我们现在构想对-1做开根这一计算，大家幻想（imagine）一个数i，这是一个纯虚数（imaginary number），促使i的平方米相当于-1。
那样我们自己的数域就让实数域拓展到了复数域（z），大家界定任意一个复数为：
这儿x和y全是实数，上式具有一定的几何意义，即我们可以把z表示为xy平面上的一点，或我们可以把z表示为一个二维的空间向量，这一空间向量就是一个复空间向量。
拥有复数的概念后，我们很容易得到许多好看的数学课方式，例如我们可以界定一个指数函数：
式子右边，对于指数函数展开了等级进行，大家将这些等级进行的项各自梳理为实数的部分虚数的那一部分。
这就导致了一个重要的关联：
这就意味着复空间向量有一个很明确的几何图形含意，假定单位向量1，一开始是在x轴里的，我们现在让这个单位向量紧紧围绕起点按逆时针视角θ，这样的操作就能表明为用e指数函数相乘。
2个连续不断的e指数函数相乘，代表着连续不断的旋转，
假如我们先后在式子左右两边进行得话，依照实部与实部相同，虚部与虚部相等的标准，我们将要获得三角函数和差化积的公式计算。
引入虚数后，求得线性微分方程也更便捷了。
例如：
这种线性微分方程，它解是：
通解是左右2个解的线性叠加：
这一点在方式上比写出三角函数要简约便捷。
怎样理解复数的几何意义？
复数(Complex)做为实数的扩展有悠久的历史, 一度曾被称之为空穴来风的数(imaginary), 直至十八世纪初通过棣莫弗及欧拉大力推动, 才被一位数学家们慢慢接纳.
的确了解复数真的需要一点时间, 不过它不复杂, 并且运用它还可以绘制非常美丽的变换和分形图型, 此次让我们用图型数据可视化的方式去相拥这一概念.
复数, 做为实数理论的拓宽
先来看看在实数轴上两个数的乘除法这 4 种计算. 注意到蓝红两个点(数), 在不同测算下, 其结果(绿点)的改变, 无论数如何转变, 都总还落在数轴上(除法分母为 0 情况下, 自然毫无意义).
再来看下面的图中, 一切实数乘于 -1 得到的结果都是会落到关于原点对称相对应位置上. 因此乘于 -1 计算可以看作该点(数)绕着起点转动了两圈.
一位数学家进一步思索, 即然乘于 -1 是旋转 180°, 那样只旋转了 90° (例如整数金额 1 )落到哪儿? 有什么意义呢?
进到一个新的二维复数平面图
这也是19新世纪数学史上至关重要的一步, 如今没有在要在一维的实数轴上, 反而是进入二维的复平面.
充分考虑旋转2个 90° 会恰好到 -1. 因此觉得 -1 的平方根是对应于 1 的一个 90多度转动(其实就是 1*i*i=-1), 那么在平面上与实数轴竖直的部门直线, 称之为是 1 个虚数单位 i . 因此拥有特性:
这一没在实数轴上怪异的点事实上落到复数平面图(complex plane, 或称之为阿尔冈平面图)上, 所有在复平面里的数都达到 z=a b i 这种构造, 称作复数. 其中a 称之为实部(real part), b 为虚部(imaginary part). 如下图所示 1 2i 复数, 1 和 2 是实数, i 是虚数单位, 这种复平面几何图形表明如图所示:
现在来看直角坐标系平面图是二维的, 必须两个数(x,y)来描述随意一点位置, 但是现在用一个复数就行了, 能用实数组(a,b)意味着这一复数, 并可以在复平面上制作出去. 但是一定要记住这儿应该把每一个这种点看作一个复数, 而非一对实数.
也有三个新理念必须了解:
复数的模(modulus, 一般写为 |z|) : 模就是它长短 r: 从起点到 z 点间的距离
辐角(argument, 一般写为 arg(z)): 辐角 φ 就是与实轴的交角
复数的共轭点(conjugate,一般写为 ¯z): 共轭点便是 a-b i 的方式
观测下面的图能够更快了解以上三个定义:
复数的计算操控
复数有怎样计算, 比如可以两组求和, 也就是两个复数实部和虚部各自相匹配求和, 能够看作是移动操作.
复数还可以了解乘计算, 便是对模的变大或缩小了:
复数的乘除法, 就像上边上述, 数乘于 i 等同于这一旋转 90°:
z1*z2 2个复数乘积本身就是转动 伸缩式二种变换, 也就是两个复数的模乘积(伸缩式尺寸), 辐角求和(转动量).
如果对于图片中的每一点做复数计算的变换, 可以获得各种各样有意思的平面图变换图象. 这儿为了庆祝欧拉高手, 便以他老人家头像图片为例子, 比如做乘于 2 i 的函数公式变换 - 转动 90°, 与此同时放大了2 倍变换 另一个变换函数公式为三次方, 你就可以思索为何就会变成这一样子呢? :-)
最美丽的公式 - 欧拉公式
复平面里的点可以转成极坐标系(不太清楚可以查看这儿)的方式 (r,θ), 那么这个点所表示的复数是什么？可以用 x = r cos(θ) 和 y = r sin(θ) 来转换到笛卡尔坐标. 因此极坐标系 (r, θ) 表明复数
z = x iy = r cos(θ) i r sin(θ).
特殊的, 假如 r = 1, 则 z = cos(θ) i sin(θ).
形同 r e^(i θ) 的复数为极坐标形式, 而且与此相对应的 x iy 为笛卡尔方式. 1743 年, 德国瑞士一位数学家欧拉提出了有名的欧拉公式, 对每一个实数 θ 都创立:
尤其当 θ=π 时，欧拉公式特殊的方式也是被选为数学上最美丽的公式计算:
这一简约公式计算涵盖了 5 个数学上最主要的常量: 0, 1(自然数的基本要素), e(叙述弹性系数的自然指数), π 及其 i(虚数的基本要素).
我们可以迅速用几何图形的方法去证实该式子, 观查下面的图不同类型的 θ 值相对应的极坐标系 e^θ, 请留意动漫间断的地方(尤其是在复平面旋转角度为 180°, 点落入相当于 -1 的一刻), 坚信便会了解上边的欧拉式子:
参考文献:
阿德里安·班纳, 《普林斯顿微积分读本》(修订版)
https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/
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(完) [遇上数学课] 制作