等差数列前n项和推导过程
等差数列前n项和公式的推导方法是什么？
等差数列前n项和公式的推导方法是什么？
公式为Sn=n(a1 an)/2，推导：Sn=a1 a2 …… a(n-1) an。则由加法交换律Sn=an a(n-1) …… a2 a1。两式相加：2Sn=(a1 an) [a2 a(n-1)] …… [a(n-1) a2] (an a1)。因为等差数列中a1 an=a2 a(n-1)=……所以2Sn=n(a1 an)。所以Sn=(a1 an)*n/2。扩展资料：等差数列性质1、在等差数列中，若Sn为该数列的前n项和，S2n为该数列的前2n项和，S3n为该数列的前3n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也为等差数列。2、记等差数列的前n项和为S。①若a gt0，公差d0，则当a ≤0且an 1≥0时，S 最小。3、数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S=an^2 bn的形式(其中a、b为常数)。
前n项和公式推导过程？
等比数列前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
推导如下：
因为an=a1q^(n-1)
所以Sn=a1 a1*q^1 ... a1*q^(n-1)(1)
qSn=a1*q^1 a1q^2 ... a1*q^n(2)
（1）-（2）注意（1）式的第一项不变。
把（1）式的第二项减去（2）式的第一项。
把（1）式的第三项减去（2）式的第二项。
以此类推,把（1）式的第n项减去（2）式的第n-1项。
（2）式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。
于是得到
(1-q)Sn=a1(1-q^n)
即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
前n项和公式推导过程？
等差数列，规律明显，最简单了
1 2 3 4 …… n = n(n 1)/2
2 4 6 8 …… 2n = n(n 1)
1 3 5 7 …… 2n-1 = n#34二次方的数列，至少两个
1X1 2X2 3X3 4X4 …… n#34 = n(n 1)(2n 1)/6
1X1 3X3 5X5 7X7 …… (2n-1)#34 = n(4n#34 -1)/3三次方的数列，也至少两个
1X1X1 2X2X2 3X3X3 4X4X4 …… n^3 = [ n(n 1)/2 ]#34
1X1X1 3X3X3 5X5X5 7X7X7 …… (2n-1)^3 = n#34(2n#34 -1)连续数字乘积的数列
1 3 6 10 …… n(n 1)/2 = n(n 1)(n 2)/6
1X2 2X3 3X4 4X5 …… n(n 1) = n(n 1)(n 2)/3
1X2X3 2X3X4 3X4X5 4X5X6 …… n(n 1)(n 2) = n(n 1)(n 2)(n 3)/4连续数字乘积变成倒数的数列
1/(1X2) 1/(2X3) 1/(3X4) 1/(4X5) …… 1/n(n 1) = n/(n 1)
1/(1X2X3) 1/(2X3X4) 1/(3X4X5) …… 1/n(n 1)(n 2) = (1/2)[ 1/2 - 1/(n 1)(n 2) ]
连续数字乘积的数列，究竟有什么规律分步阅读
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1X2 2X3 3X4 …… n(n 1) = n(n 1)(n 2)/3
连续两个数字乘积的数列，通项是 n(n 1) ，为什么前 n 项的和是 n(n 1)(n 2)/3 呢？
让我们取数列的前三项，算一算吧
1X2 2X3 3X4
= 1X2X3/3 2X3X3/3 3X4X3/3
= [ 1X2X3 2X3X(4-1) 3X4X(5-2) ] / 3
= [ 1X2X3 - 1X2X3 2X3X4 - 2X3X4 3X4X5 ] / 3
= 3 X 4 X 5 / 3
哦，数列前 n 项的和 n(n 1)(n 2)/3 ，原来是这样得到的
连续两个数字乘积的数列，第一项是 1X2 ，乘以 3 变成 1X2X3 ，就是连续三个数字的乘积，整个数列都乘以 3 和 1/3 ，就可以确保计算结果不变；
后面各项的 n(n 1) 乘以 3 之后，都可以变成 n(n 1)(n 2) - (n-1)n(n 1) 的相差数；
后一项分开的 (n-1)n(n 1) ，都正好与前一项分开的 n(n 1)(n 2) 相互抵消，只剩下最后一项分开的 n(n 1)(n 2)，最终结果就是 n(n 1)(n 2)/3
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1X2X3 2X3X4 3X4X5 …… n(n 1)(n 2) = n(n 1)(n 2)(n 3)/4
连续三个数字乘积的数列，前 n 项的和是 n(n 1)(n 2)(n 3)/4 ，方法也是这样吧
1X2X3 2X3X4 3X4X5
= [ 1X2X3X4 2X3X4X(5-1) 3X4X5X(6-3) ] / 4
= 3 X 4 X 5 X 6 / 4
没错，前 n 项的和 n(n 1)(n 2)(n 3)/4 ，也是这样得来的
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1 3 6 10 …… n(n 1)/2 = n(n 1)(n 2)/6
这就是把连续两个数字乘积的数列除以 2，不用再说了
要知道，这个数列的通项式 n(n 1)/2 ，也正是自然数列的前 n 项和的公式
如果从上往下，物体顶上第一层 1 个，第二层摆成 1 2 ，第三层摆成 1 2 3 ，第四层摆成 1 2 3 4 ……像台阶或正四面体的形状，计算总数量时，就会用到这个公式。
1 3 6 10
= 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4)
= [ 1X2 2X3 3X4 4X5 ] / 2
= [ 1X2X3 2X3X(4-1) 3X4X(5-2) 4X5X(6-3) ] / 6
= 4 X 5 X 6 / 6
数列通项是 n(n 1)/2 ，前 n 项的和就是 n(n 1)(n 2)/6
连续数字的乘积变成倒数，又是怎么回事
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1/2 1/6 1/12 …… 1/n(n 1) = n/(n 1)
连续两个数字的乘积，在数列通项中变成倒数，也是大同小异的算法吗
1/(1X2) 1/(2X3) 1/(3X4)
= (2-1)/(1X2) (3-2)/(2X3) (4-3)/(3X4)
= 2/(1X2) - 1/(1X2) 3/(2X3) - 2/(2X3) 4/(3X4) - 3/(3X4)
= 1 -1/2 1/2 -1/3 1/3 -1/4
= 1 -1/4
= 3 / 4
= 3 / (3 1)
数列通项是 1/n(n 1)，前 n 项的和就是 n/(n 1)
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1/6 1/24 1/60 …… 1/n(n 1)(n 2) = [ 1/2 - 1/(n 1)(n 2) ] / 2
在数列通项中，连续三个数字的乘积变成倒数，方法也是这样
1/(1X2X3) 1/(2X3X4) 1/(3X4X5)
= [ (3-1)/(1X2X3) (4-2)/(2X3X4) (5-3)/(3X4X5) ] / 2
= [ 1/(1X2) - 1/(2X3) 1/(2X3) - 1/(3X4) 1/(3X4) - 1/(4X5) ] / 2
= [ 1/(1X2) - 1/(4X5) ] / 2
= [ 1/2 - 1/(3 1)(3 2) ] / 2
数列通项是 1/n(n 1)(n 2)，前 n 项的和就是 [ 1/2 - 1/(n 1)(n 2) ] / 2
回到最简单的，等差数列也这样算一算
1
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自然数的数列，1 2 3 4 …… n = n(n 1)/2
这个 n(n 1)/2，等差数列说，是最大项加最小项的和，乘以项数以后，去掉重复除以2；
我就觉得，这个 n(n 1)/2，并非像梯形面积 (a b) h / 2 那样，或许就是为了变成连续数字的乘积，让我们取数列前四项算算吧
1 2 3 4
= [ 1X2 2X2 3X2 4X2 ] / 2
= [ 1X2 2X(3-1) 3X(4-2) 4X(5-3) ] / 2
= 4 X 5 / 2
= 4 X (4 1) / 2
看出来了，数列第一项是 1，变成连续数字的乘积就是 1X2，计算前 n 项的和，就要把整个数列乘以 2 和倒数 1/2 ，确保和不变；
后面各项再把 2 变成 n(n 1) - n(n -1) ，后一项的 n(n -1) 也都与前一项的 n(n 1) 相互抵消，只剩下最后一项的 n(n 1) ，结果最终就是 n(n 1)/2
2
/3
偶数的数列，2 4 6 8 …… 2n = n(n 1)
偶数的数列就是自然数列的 2 倍，那么直接把 2 变成一对对相差数就行了
1X2 2X2 3X2 4X2
= 1X2 2X(3-1) 3X(4-2) 4X(5-3)
= 4 X 5
= 4 X (4 1)
数列通项是 2n，前 n 项的和就是 n(n 1)
3
/3
奇数的数列，1 3 5 7 …… 2n-1 = n#34
奇数的数列，每一项都比偶数小 1，算起来就一样
1 3 5 7
= 1X2 -1 2X2 -1 3X2 -1 4X2 -1
= 4X5 - 4X1
= 4 X 4
数列通项是 2n-1，前 n 项的和就是 n#34
二次方的数列，再这样算一算
1
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1X1 2X2 3X3 4X4 …… n#34 = n(n 1)(2n 1)/6
自然数二次方的数列，我们取前四项，变成连续数字的乘积看看
1X1 2X2 3X3 4X4
= 1X(2-1) 2X(3-1) 3X(4-1) 4X(5-1)
= 1X2 -1 2X3 -2 3X4 -3 4X5 -4
= [ 1X2X3 2X3X(4-1) 3X4X(5-2) 4X5X(6-3) ] /3 -(1 2 3 4)
= 4X5X6 /3 - 4X5 /2
还原字母，算出公式
= n(n 1)(n 2)/3 - n(n 1)/2
= n(n 1)[ 2(n 2) /6 - 3/6 ]
= n(n 1)[ 2n 4 - 3 ]/6
= n(n 1)(2n 1)/6
通项是 n#34 ，前 n 项的和是 n(n 1)(2n 1)/6 ，公式可以这样算出来
2
/2
1X1 3X3 5X5 7X7 …… (2n-1)#34 = n(4n#34 -1)/3
奇数二次方的数列，再取前三项，变成连续数字的乘积算一算
1X1 3X3 5X5
= 1 3X(1 2) 5X(2 3)
= [ 1X2 (2 4)X3 (4 6)X5 ] / 2
= [ 1X2 2X3 3X4 4X5 5X6 ] / 2
= [ 1X2X3 2X3X(4-1) 3X4X(5-2) 4X5X(6-3) 5X6X(7-4) ] / 6
= 5 X 6 X 7 / 6
还原字母，算出公式
= (2n -1)(2n)(2n 1)/6
= n(4n#34 -1)/3
通项是 (2n -1)#34 ，前 n 项的和 n(4n#34 - 1)/6 ，原来有这样的联系
三次方的数列，还是这样算一算
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1X1X1 2X2X2 3X3X3 4X4X4 …… n^3 = [ n(n 1)/2 ]#34
自然数三次方的数列，变成连续数字乘积的数列应该更方便，瞧
5 X 5 X 5
= 5X( 5#34 - 1#34 1)
= 5X(5 - 1)(5 1) 5 X 1
= 4X5X6 5
数列我们就取前四项算算看吧
1X1X1 2X2X2 3X3X3 4X4X4
= 1 2 3 4 1X2X3 2X3X4 3X4X5
= 4X5 /2 [ 1X2X3X4 2X3X4X(5-1) 3X4X5X(6-2) ] / 4
= 4X5 /2 3X4X5X6 /4
还原字母，算出公式
= n(n 1)/2 (n-1)n(n 1)(n 2)/4
= n(n 1)[ 2/4 (n-1)(n 2)/4 ]
= n(n 1)[ 2 n#34 2n - n - 2 ] / 4
= n(n 1)(n#34 n) / 4
= [ n (n 1) / 2 ]#34
数列的通项是 n^3 ，前n项和就是 [ n(n 1)/2 ]#34
其实
1 8 27 64 125
= 9 27 64 125
= 36 64 125
= 100 125
= 225
这个数列只要把前几项像这样耐心地加一遍，我们就会发现，1、9、36、100、225 这几个前n项的和，也正好是 1、3、6、10、15……n(n 1)/2 的二次方。
2
/2
1X1X1 3X3X3 5X5X5 7X7X7 …… (2n-1)^3 = n#34(2n#34 -1)
奇数三次方的数列，我们还是取前四项，变成连续数字的乘积算一算
1X1X1 3X3X3 5X5X5 7X7X7
= 1 3 5 7 2X3X4 4X5X6 6X7X8
= 4X4 2X1X3X2X2 2X2X5X3X2 2X3X7X4X2
= 4X4 4X1X2X3 4X2X3X(1 4) 4X3X4X(2 5)
= 4X4 4X1X2X3 4X1X2X3 4X2X3X4 4X2X3X4 4X3X4X5
= 4X4 [1X2X3X4]X2 [2X3X4X(5-1)]X2 3X4X5X(6-2)
= 4X4 (2X3X4X5)X2 - 2X3X4X5 3X4X5X6
= 4X4 2X3X4X5 3X4X5X6
还原字母，算出公式
= n#34 (n-2)(n-1)n(n 1) (n-1)n(n 1)(n 2)
= n#34 n(n#34 -1)[ (n - 2) (n 2) ]
= n#34 n(n#34 -1)(2n)
= n#34 n#34(2n#34 - 2)
= n#34(2n#34 - 2 1)
= n#34(2n#34 - 1)
数列的通项是 (2n-1)^3，前n项和就是 n#34(2n#34-1)