正定矩阵ab相乘是正定矩阵吗
矩阵正定的判定？
矩阵正定的判定？
对称阵A正定的等价条件
1、对应的二次型正定
2、所有主子式大于0
3、所有顺序主子式大于
4、所有特征根大于0
正定的一个必要条件 ：所有对角线上的元素全大于0（用于判定不正定时常用）
正定矩阵的问题？
一． 定义 因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型: 设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)gt0( 0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。
相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为： 令a为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称a正定（半正定）矩阵；反之，令a为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 则称a负定（半负定）矩阵。
例如，单位矩阵e 就是正定矩阵。 二． 正定矩阵的一些判别方法 由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：
1.n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是a的 n 个特征值全是正数。
证明：若 ， 则有 ∴λ＞0 反之，必存在u使 即 有 这就证明了a正定。
由上面的判别正定性的方法，不难得到a为半正定矩阵的充要条件是：a的特征值全部非负。
2．n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是a合同于单位矩阵e。
证明：a正定 二次型 正定 a的正惯性指数为n 3．n阶对称矩阵a正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵u使 ；进一步有 （b为正定（半正定）矩阵）。
证明：n阶对称矩阵a正定，则存在可逆矩阵u使 令 则 令 则 反之， ∴a正定。
同理可证a为半正定时的情况。 4．n阶对称矩阵a正定，则a的主对角线元素 ，且 。
证明：
（1）∵n阶对称矩阵a正定 ∴ 是正定二次型 现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第i个数为1)代入，有 ∴ ∴a正定 ∴存在可逆矩阵c ，使 5．n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是：a的 n 个顺序主子式全大于零。 证明：必要性： 设二次型 是正定的 对每个k,k1,2,…,n,令 ， 现证 是一个k元二次型。
∵对任意k个不全为零的实数 ，有 ∴ 是正定的 ∴ 的矩阵 是正定矩阵 即 即a的顺序主子式全大于零。